二分法｜センター試験数学－BASICプログラミング

中間値の定理

　関数 f(x) が区間 [a, b] で連続であるとき、 f(a) と f(b) が異符号ならば、方程式 f(x)=0 はとの間に少なくとも1つ解を持つ。

[補足]

　 f(a) と f(b) が異符号 f(a)f(b)＜0

　中間値の定理を利用することで、直接解を求めることが困難な方程式の解の近似値（おおよその値）がわかります。

[例] 中間値の定理を利用して x^3-3*x^2+3*x+5 の近似解を求める。

　　　 y=f(x) のグラフ

f(x)=x^3-3*x^2+3*x+5 とおくと、

f'(x)=3*x^2-6*x+3
　　　 =3*(x-1)^2≧0

よって、 f(x) は単調に増加するので、実数解は1つしかありません。

ここで、

　　　 f(-1)=-2＜0 　 f(0)=5＞0

なので、中間値の定理より、解は-1と0の間にあることがわかります。

　次に、この区間を [-1, -1/2] と [-1/2, 0] の半分に分けて、 f(-1)f(-1/2) と f(-1/2)f(0) の符号を調べることでさらに解の範囲を狭めることができます。

(i) 区間 [-1, -1/2]

　　　 f(-1)=-2＜0 　 f(-1/2)＞0

なので、中間値の定理より、解は－1と -1/2 の間にあることがわかります。

(ii) 区間 [-1/2, 0]

　　　 f(-1/2)＞0 　 f(0)=5＞0

なので、中間値の定理より、解は -1/2 と0の間にはありません。

　　　(i) 区間 [-1, -1/2] 　　　　　　　　　　　　　　　　　(ii) 区間 [-1/2, 0]

　これにより、解は区間 [-1, -1/2] にあることがわかったので、もう一度この区間を [-1, -3/4] と [-3/4, -1/2] の半分に分けて、 f(-1)f(-3/4) と f(-3/4)f(-1/2) の符号を調べることでさらに解の範囲を狭めることができます。

(i)' 区間 [-1, -3/4]

　　　 f(-1)=-2＜0 　 f(-3/4)＞0

なので、中間値の定理より、解は－1と -3/4 の間にあることがわかります。

(ii)' 区間 [-1/2, 0]

　　　 f(-1/2)＞0 　 f(0)=5＞0

なので、中間値の定理より、解は -3/4 と -1/2 の間にはありません。

　(i)', (ii)'から、解が存在する区間を [-1, -3/4] に絞ることができました。次は [-1, -7/8] と [-7/8, -3/4] の半分に分けて調べます。

　この手順を繰り返すことにより、 x^3-3*x^2+3*x+5 の近似解を求めることができます。この方法は二分法と呼ばれています。

二分法

　方程式 f(x)=0 が f(a)f(b)＜0 で、区間 (a, b) にただ1つの実数解をもつ場合を考える。

手順1.　の中点 m=(a+b)/2 をとる。

手順2.

(i) f(a) と f(m) が異符号、すなわち、 f(a)f(m)＜0 のとき

　　　 a＜x0＜m

となるので、を新しいとする。（右端をとして区間を半分にする）

(ii) f(a) と f(m) が同符号、すなわち、 f(a)f(m)＞0 のとき

　　　 a＜x0＜m

となるので、を新しいとする。（左端をとして区間を半分にする）

手順3.　これを繰り返す。

[プログラム] 二分法により、方程式 x^3-3*x^2+3*x+5 の近似解を求める。

    100  INPUT PROMPT "n="; N
    110  LET A=-1
    120  LET B=0
    130  FOR I=1 TO N
    140      LET M=＿＿＿＿＿＿＿
    150      PRINT "a=";A;"m=";M;"b=";B
    160      LET FA=A^3-3*A^2+3*A+5
    170      LET FM=M^3-3*M^2+3*M+5
    180      LET FB=B^3-3*B^2+3*B+5
    190      PRINT "f(a)=";FA;"f(m)=";FM;"f(b)=";FB
    200      IF FA*FM<0 THEN LET ＿＿＿ ELSE LET ＿＿＿
    210  NEXT I
    220  PRINT "approximate x=";M
    230  END

[実行例]

・n=2のとき

　　n=2
　　a=-1 m=-.5 b= 0 
　　f(a)=-2 f(m)= 2.625 f(b)= 5 
　　a=-1 m=-.75 b=-.5 
　　f(a)=-2 f(m)= .640625 f(b)= 2.625 
　　approxiate x=-.75

・n=10のとき

　　（途中省略）
　　a=-.818359375 m=-.8173828125 b=-.81640625
　　f(a)=-1.22794732451439E-2 f(m)=-2.59786564856767E-3 f(b)= 7.07334280014038E-3
　　approximate x=-.8173828125

・n=100

　　（途中省略）
　　a=-.81712059283214 m=-.81712059283214 b=-.817120592832139 
　　f(a)=-3.37E-15 f(m)=-3.37E-15 f(b)= 6.533E-15 
　　approximate x=-.81712059283214