[補足]
とが異符号
中間値の定理を利用することで、直接解を求めることが困難な方程式の解の近似値(おおよその値)がわかります。
[例] 中間値の定理を利用しての近似解を求める。
のグラフ
とおくと、
よって、は単調に増加するので、実数解は1つしかありません。
ここで、
なので、中間値の定理より、解は-1と0の間にあることがわかります。
次に、この区間をとの半分に分けて、との符号を調べることでさらに解の範囲を狭めることができます。
(i) 区間
なので、中間値の定理より、解は−1との間にあることがわかります。
(ii) 区間
なので、中間値の定理より、解はと0の間にはありません。
(i) 区間 (ii) 区間
これにより、解は区間にあることがわかったので、もう一度この区間をとの半分に分けて、との符号を調べることでさらに解の範囲を狭めることができます。
(i)' 区間
なので、中間値の定理より、解は−1との間にあることがわかります。
(ii)' 区間
なので、中間値の定理より、解はとの間にはありません。
(i)', (ii)'から、解が存在する区間をに絞ることができました。次はとの半分に分けて調べます。
この手順を繰り返すことにより、の近似解を求めることができます。この方法は二分法と呼ばれています。
方程式がで、区間にただ1つの実数解 をもつ場合を考える。
手順1. の中点をとる。
手順2.
(i) とが異符号、すなわち、のとき
となるので、を新しいとする。(右端をとして区間を半分にする)
(ii) とが同符号、すなわち、のとき
となるので、を新しいとする。(左端をとして区間を半分にする)
手順3. これを繰り返す。
[プログラム] 二分法により、方程式の近似解を求める。
100 INPUT PROMPT "n="; N 110 LET A=-1 120 LET B=0 130 FOR I=1 TO N 140 LET M=_______ 150 PRINT "a=";A;"m=";M;"b=";B 160 LET FA=A^3-3*A^2+3*A+5 170 LET FM=M^3-3*M^2+3*M+5 180 LET FB=B^3-3*B^2+3*B+5 190 PRINT "f(a)=";FA;"f(m)=";FM;"f(b)=";FB 200 IF FA*FM<0 THEN LET ___ ELSE LET ___ 210 NEXT I 220 PRINT "approximate x=";M 230 END
[実行例]
・n=2のとき
n=2 a=-1 m=-.5 b= 0 f(a)=-2 f(m)= 2.625 f(b)= 5 a=-1 m=-.75 b=-.5 f(a)=-2 f(m)= .640625 f(b)= 2.625 approxiate x=-.75
・n=10のとき
(途中省略) a=-.818359375 m=-.8173828125 b=-.81640625 f(a)=-1.22794732451439E-2 f(m)=-2.59786564856767E-3 f(b)= 7.07334280014038E-3 approximate x=-.8173828125
・n=100
(途中省略) a=-.81712059283214 m=-.81712059283214 b=-.817120592832139 f(a)=-3.37E-15 f(m)=-3.37E-15 f(b)= 6.533E-15 approximate x=-.81712059283214